Ти приходиш на зупинку з райдужними очікуваннями, бо знаєш: твій автобус прибуває кожні 10 хвилин, тож плануєш цього разу почекати лиш хвилин 5, проте стоїш на зупинці всі 10. Або вибираєш чергу в супермаркеті, яка нібито рухається швидше, та вже на касі помічаєш, що за сусідньою обслуговують швидше! В обидвох випадках нервуєшся і запитуєш у Всесвіту, чому ж тобі так не щастить.

Насправді щастя тут ні до чого. Кейси з автобусом і чергою може пояснити математика, а саме парадокс часу очікування.  Сьогодні разом з експертками — математикинями Катериною Терлецькою та Катериною Глиняною і нейробіологинею Наною Войтенко — розберемо це цікаве явище. 

То що таке парадокс часу очікування? 

Парадокс часу очікування (waiting-time paradox) — це математичне явище, яке пояснює причини розбіжності інтуїтивного часу очікування з реальним. Його розглядали американські математики Мейсон Портер і Наокі Масуда у своїй нещодавно оприлюдненій статті.

Парадокс часу очікування — це незбіжність твоїх сподівань і реальності. 

Причину виникнення цього парадокса пояснює теорія ймовірностей, а саме показниковий розподіл і розподіл Пуассона. Показниковий розподіл моделює час між двома визначеними подіями, які відбуваються одна за одною. А розподіл Пуассона моделює кількість подій за певний проміжок часу. Наприклад, кількість викликів, які надходять на станцію за конкретний період.

За допомогою розподілу Пуассона вивчають демографію, як-от статистику народження трієнь або число смертей з рідкісних причин. У статистичній фізиці цей розподіл використовують для вимірювання радіоактивних процесів, а в біологічній статистиці — для розрахунку колоній бактерій, що припадають на одиницю об’єму. Використовують його і для прогнозування футбольних матчів, щоб описати ймовірність того, чи заб'ють футболісти голи та прорахувати кількість влучень у ворота. 

А ще розподіл Пуассона використовують у системі управління якістю на підприємстві, щоб поліпшити продукцію та автоматизувати процес виробництва або ж роботу комп'ютерних мереж та обладнання. 

Як і чому виникає парадокс часу очікування?

Математикиня Катерина Терлецька розповідає, що парадокс часу очікування виникає, коли ми не беремо до уваги всі умови, помилково розраховуємо середній час очікування та упереджено робимо висновки. Але це нормально, бо людина не може врахувати чи тим паче передбачити багато додаткових факторів, які впливатимуть на час прибуття транспорту, — від заторів до аварій. 

Пояснимо на конкретному кейсі з розрахунками. 

Ти приходиш на зупинку та чекаєш там на автобус. Відомо, що графік руху автобусів має 10-хвилинні інтервали. Але час приходу транспорту залежить також від непередбачуваних дорожніх ситуацій.

Питання: скільки ж у середньому доведеться чекати на автобус?

Абсолютно природно, якщо ти сподіватимешся, що до наступного автобуса в середньому залишатиметься половина часу 10 / 2 = 5 хвилин. Чи не так?

Це було б правильним твердженням, якби автобуси ходили з інтервалом рівно 10 хвилин без непередбачуваних ситуацій.

Але якщо в середньому графік руху має 10-хвилинний інтервал, то реальний сценарій може бути таким: автобуси приходитимуть «через раз» — якийсь за хвилину, а якийсь — за 19, адже кожен другий потрапляє в затор. А середній час між рейсами все ще дорівнюватиме 10 хвилинам. 

Ймовірність прийти на зупинку під час 19-хвилинного інтервалу в 19 разів більша, ніж під час 1-хвилинного. Пасажир в 19 разів частіше потраплятиме в інтервал, коли автобус сильно затримується, і чекатиме на нього довго. І загалом середній час очікування для пасажира на зупинці можна розрахувати так: (9,5 * 19 + 0,5 * 1) / 20 = 9 хвилин, де 9,5 і 0,5 — це середній час очікування в інтервалі 19 і 1 хвилина відповідно. Це майже вдвічі більше, ніж 5 хвилин, які можна було б очікувати інтуїтивно!

Тобто якщо автобуси ходять нерегулярно, інтервали між ними можуть бути більшими та меншими за середнє значення. Але ймовірність прийти на зупинку під час довшого інтервалу — більша. 

Парадокс часу очікування виникає через те, що пасажир, який приходить на зупинку та від’їжджає автобусом, і спостерігач, який увесь час перебуває на зупинці та просто записує час між рейсами, по-різному розуміють, що таке середній інтервал.

То виходить, треба завжди розраховувати, що час очікування буде найбільший? Математикиня Катерина Глиняна вважає, що не слід радикальничати. «Коли ти прийдеш на зупинку, то найімовірніше потрапиш якраз у довгий відтинок часу між автобусами. Це можна пояснити навіть інтуїтивно, бо що більший проміжок, то більший шанс у нього втрапити», — розповідає вона. 

Експертка додає: якби транспорт завжди дотримувався фіксованого розкладу, то жодного парадокса не виникало б. До прикладу, потяги мають жорсткіший графік і передбачають менше форс-мажорів, тому їх парадокс часу очікування не стосується. 

Навіщо вивчати парадокс часу очікування?

Аби апгрейдити різні сфери життя! Розуміння парадокса часу очікування допомагає раціонально використовувати енергію людини та ресурси природи, аналізувати побутові проблеми та робочі трабли. 

Наприклад, свого часу японський вчений-фізик Торахіко Терада досліджував рух токійських трамваїв, аби виявити, коли людям краще приходити на зупинки, щоб не потрапляти в забитий пасажирами транспорт. Вчений також хотів розуміти заздалегідь середній час очікування. На основі своїх емпіричних спостережень він задокументував висновки, які сьогодні використовують у теорії черг та аналізі часових мереж.

Завдяки підрахункам Торахіко виявив, що в кожного, хто приходить на зупинку, набагато більше шансів потрапити в заповнений трамвай та очікувати довше, ніж навпаки. Тому в людей може скластися враження, що це саме їм не щастить. Вчений також зрозумів, що спогади про негативний досвід закарбовуються сильніше, аніж про ситуації, коли ми майже не чекаємо на трамвай.

Ізраїльський науковець Арель Авінері використав це у своєму дослідженні, де розповів, що розуміння поведінки пасажирів може оптимізувати дизайн розкладу руху громадського транспорту та вдосконалити інформаційні системи для подорожей (ATIS).

А ще парадокс часу очікування допомагає поліпшувати сервіс у компаніях. Наприклад, якщо ти замовляєш піцу або хочеш проконсультуватися щодо вибору новенької консолі, а тебе просять залишатися на лінії чи почекати в чаті на сайті кілька хвилин, то співробітники заздалегідь прораховують, скільки ти чекатимеш.

До речі, одні з коренів вивчення парадокса ростуть саме зі звичайного телефонного дзвінка. 

Катерина Глиняна ділиться кейсом копенгагенської телефонної станції, яка перенаправляла дзвінки людей на потрібну їм лінію. Одного дня співробітники організації зрозуміли, що не знають, яку кількість операторів треба ставити на вузол, щоб зменшити час очікування для абонента. Вони збирали статистику інтервалів між дзвінками, аби спрогнозувати середній час очікування з'єднання. Працівники помилково припустили, що людина переважно очікуватиме час, що дорівнює середньому арифметичному між найдовшим і найкоротшим періодом обслуговування абонентів. Згодом люди почали скаржитися, бо найчастіше чекали довше, аніж обіцяла компанія. 

Отже, якщо є стандарт, що час очікування на оператора не має перевищувати кількох хвилин, то компанія повинна розрахувати, скільки їй знадобиться персоналу, щоб дотримуватися своїх обіцянок стосовно цього клієнтам. Якщо ми знаємо, що в середньому на обслуговування однієї людини необхідно 5 хвилин, то за парадоксом часу очікування і наступний чекатиме не 2,5 хвилини, як ми могли припускати, а всі 5. Це допомагає розраховувати та контролювати кількість персоналу та завантаженість мережі. 

Кейс цієї компанії досліджував і розглядав у своїх роботах данський математик і статистик Агнер Краруп Ерланг. Він створив моделі для опису системи телефонного зв'язку, завдяки яким виникла теорія черг, або теорія масового обслуговування (queueing theory) — розділ теорії ймовірностей, що вивчає потоки очікування та черг.

Наразі її використовують у телекомунікаціях, під час побудови транспортних розв'язок, для створення обчислювальної техніки, проєктування заводів, крамниць, офісів і лікарень, а також у промисловому машинобудуванні.

Як вберегтися від хитрого парадокса та інших «пасток»?

Не звинувачуй себе в упереджених висновках, бо ж просто так працює наш мозок! Він не може осягнути всю інформацію та всі процеси, бо їх дуже багато. Зазвичай мозок виокремлює найважливіше та фільтрує буденне, щоб у тебе була можливість і сили навчатися, розвиватися та відпочивати.

На думку нейробіологині Нани Войтенко, мозок час від часу використовує мисленнєві шаблони та ніби заводить нас у пастки. Так влаштована людина: емоції завжди впливають на нашу здатність аналізувати й адекватно мислити. Ми знаємо, що приїзд і від'їзд автобуса пояснює теорія ймовірностей, і це явище працює за законами математики та фізики. Якщо немає жодних проблем, то автобус ходить за розкладом. Якщо проблеми є, то вони пов'язані з автобусом, а не з нами. 

Але чому нам здається, що причина запізнення транспорту — то закон підлості?

«Ми фіксуємо запізнення маршрутки або ж ситуації, коли вона поїхала перед нашим носом, лише тоді, як нам дуже важливо встигнути на цю саму маршрутку. Наприклад, якщо ми хвилюємось, бо поспішаємо на роботу чи побачення. 

Зазвичай ми не звертаємо уваги на рутинні події. Якщо ми нікуди не запізнюємося та щодня виходимо приблизно в один час, то 3–5 хвилин нічого не вирішують, тож наш мозок просто їх не фіксує. Бувають дні, коли ми тільки-но прийшли на зупинку, а автобус вже під'їхав. Ми не карбуємо це в пам'яті, а згадуємо потім лише те, що нас напружує чи засмучує.

А ще мозок — це система, яка працює за законами фізики та хімії. Він керує нашими діями та рішеннями, враховуючи їхню енергетичну вигідність. Мозок має побудовані нейронні зв'язки та інформацію, яку він колись прийняв як парадигму. Щоб думати, аналізувати та вигадувати щось нове, йому потрібно затрачувати енергію, а це не вигідно. Саме тому ми робимо помилкові висновки та маємо помилкові упередження», — пояснює нейробіологиня.

Отже, якщо наш мозок — це зрозуміла система, то чи можливо якось знайти з ним спільну мову та не вестися на його провокації? Ми розуміємо, що він використовує готові сценарії для мислення, але це можна пофіксити. Сформували разом з експерткою Наною Войтенко поради, що допоможуть «подружитися» зі своїм мозком.

• Розширюй світогляд, займайся новими заняттями, вивчай нові мови, читай нові статті, ходи новими вуличками у нових містах, щоб мозок розвивався, будував нові й підтримував наявні нейронні зв'язки! 
• Вивчай розклад маршруток і не приходь на зупинку навмання. Так, це потребує зусиль, але тоді ти розумітимеш закономірності руху транспорту та рідше пропускатимеш його перед самим носом. 
• Коли стоїш у заторі і тобі здається, що сусідній ряд рухається швидше, спробуй дослідити дорогу, щоб зрозуміти, який ряд насправді посувається швидше і чому. Можливо, там немає повороту наліво, а всі їдуть в одному напрямку — прямо. 
• Помічай ті випадки, коли твоя черга у крамниці рухається швидше, і звертай увагу на чинники, які на це впливають.
• Якщо ти потрапив/-ла в затор, то використай цей час із користю. Почитай книгу, послухай музику абощо. 
• Фіксуй щоденний час очікування на автобус чи трамвай і будуй графік руху транспорту протягом місяця, як це робив Торахіко Терада. Тоді ти зможеш побачити закономірності та зрозуміти, що все працює за теорією ймовірностей. 

Отже, насправді жодного закону підлості не існує, на відміну від парадокса часу очікування. І якщо його (та й математичні закони загалом) вивчати, можемо полегшити й апгрейднути свою рутину.