Учені Інституту математики НАН України (Київ) у співпраці з інженерами-дослідниками Норвезького університету природничих наук і технологій (Трондгейм) створили аналітичну теорію, яка пояснює деякі таємниці виникнення кругової хвилі, а також якісно й кількісно описує масоперенос Прандтля. Пояснюємо, в чому суть і практична користь цього наукового результату.

Розповідають, що П’єр-Симон Лаплас (1749–1827), один із математичних батьків теоретичної гідромеханіки, якось почув від колеги категоричне твердження про те, як це прекрасно, що завдяки побудованій Лапласом теорії нарешті можна достовірно розраховувати будь-які деталі гідродинамічних течій. Лаплас зробив зневажливий жест, взяв пляшку із залишками вина і сказав, одночасно поступально збурюючи пляшку (за іншою версією, він робив це з келихом вина) уздовж кругової орбіти: «Порахуйте оце!», – акцентуючи на так званій круговій хвилі й траєкторіях зважених частинок вина. Цю історію, посилаючись на Карла Рунґе (1856-1927), описує у преамбулі до своєї статті (ZAMM, 1949, 29, No 1/2, 8-9) видатний фізик, засновник експериментальної  аеродинаміки Людвіґ Прандтль (1875-1953). Колеги, які оточували Лапласа, мали бачити те, що ілюструє у своїх популярних відео група фізиків-експериментаторів із Федеральної політехнічної школи Лозанни (Швейцарія, 2011 рік).

У 50–60-х роках минулого сторіччя виникнення кругової резонансної хвилі у паливних баках стало «карою небесною» для конструкторів балістичних ракет і космічних апаратів. Вона породжувала надкритичні тривимірні силові навантаження на носій, які не здатні були ефективно компенсувати наявні на той момент системи стабілізації. Інсталяція пасивних демпферів (ребра та перегородки) всередині баків, хоч суттєво й зменшила масу корисного вантажу, проте відклала проблему докладнішого дослідження кругової хвилі «на майбутнє». «Майбутнє» настало на початку ХХІ сторіччя при розгляді низки практичних застосувань, за яких розміщення пасивних демпферів є принципово неможливим (приклади – контейнери із скрапленим газом, садки із рибою в океані тощо). У ці ж роки виявилося, що вирощування протеїну чи інших активних біологічних речовин у контейнерах-ректорах, аерація вина, виробництво електричних акумуляторів із рідким металом базуються на азимутальному масопереносі Прандтля, який породжується круговою хвилею, є її наслідком.

Складність чисельного й експериментального моделювання зародження стійкої кругової хвилі полягає в тому, що вона може співіснувати з іншими стійкими хвильовими режимами руху рідини (із математичної точки зору, вихідна нелінійна задача не має єдиного розв’язку), а отже, існує нескінчена кількість перехідних сценаріїв, які приводять до кругової хвилі. У такому випадку повне розв’язання проблеми можливе лише шляхом побудови аналітичної теорії. Таку теорію і створили вчені Інституту математики НАН України у співпраці з інженерами-дослідниками Норвезького університету природничих наук і технологій. Крайову задачу з вільною поверхнею було зведено до спеціального типу дискретних складних динамічних систем. Аналіз цих систем довів, що для довільного тривимірного резонансного руху контейнера існує еквівалентний еліптичний орбітальний, для якого класи усталених поверхневих хвиль збігаються з вихідними. Параметрично змінюючи величини «осей еліпсу» та частоти збурень, науковці дослідили біфуркації усталених хвиль, їх нестійкість і/або мультистійкість, виникнення хаосу й, нарешті, докладно вивчили умови зародження стійких кругових хвиль.

Нещодавній приклад такої динамічної системи та відповідної теорії усталених коливань рідини для контейнерів квадратного перерізу подано у статті професора Центру автономних морських операцій та систем і відділу морських технологій Норвезького університету природничих наук і технологій Одда Маґнуса Фалтінсена, аспіранта відділу математичних проблем механіки та теорії керування Інституту математики НАН України Олександра Лагодзінського і завідувача цього відділу члена-кореспондента НАН України Олександра Тимохи (Journal of Fluid Mechanics, 2020, 894, А10). Аналогічні результати для кругового циліндру підсумовано у монографії молодшого наукового співробітника відділу математичних проблем механіки та теорії керування Інституту математики НАН України Ігоря Райновського і члена-кореспондента НАН України Олександра Тимохи “Sloshing in Upright Circular Containers: Theory, Analytical Solutions, and Applications” (CRC Press/Taylor & Fransis Group, 2021, ISBN 978-036-73628-98).

Кругова хвиля породжує сталий азимутальний перенос частинок рідини за напрямом хвилі (масоперенос Прандтля), який, власне, й забезпечує перемішування рідини у вищезгаданих технологічних процесах. Донедавна вважалося, що масоперенос Прандтля можна якісно й кількісно описати в рамках базової концепції усереднених потоків: середнє за Лагранжем = масоперенос Прандтля = усереднення за Ейлером + зсув Стокса. Але спроби застосування цієї концепції, починаючи з піонерською теоретико-експериментальної роботи Роберта Гаттона (R.Hutton, Trans. ASME J. Appl. Mech., 1964, 31, 145-153), зазнали фіаско. Досягти відповідності експериментальним даним не вдавалося. Одд Фалтінсен та Олександр Тимоха (Journal of Fluid Mechanics, 2019, 865, 884-903) пішли іншим шляхом. Використовуючи наближення кругової хвилі через розв’язки вищезазначених складних динамічних систем, вони побудували аналітичний розв’язок рівняння Крейка-Лейбовича, який описує усереднений сталий азимутальний потік Ейлера, а також аналітично вивели середній за часом не-ейлерів потік, який, як виявилося, відрізняється для кругової хвилі від зсуву Стокса. Автори показали, що сума цих теоретичних середніх потоків адекватно кількісно описує азимутальний масоперенос Прандтля через меридіональний переріз кругового циліндричного баку, зокрема для експериментальних замірів Роберта Гаттона (див. рисунок нижче).

Ескіз радіального перерізу установки (R.Hutton; Trans. ASME J. Appl. Mech., 1964, 31, 145-153) для замірів швидкості азимутального масопереносу, які виконано для трьох різних лопаток та амплітуд гармонічного збурення баку (праворуч). Ліворуч – відповідні безрозмірні експериментальні азимутальні (середні за часом) швидкості (вертикальна вісь) порівнюються із побудованим аналітичним розв’язком Одда Фалтинсена й Олександра Тимохи (Journal of Fluid Mechanics, 2019, 865, 884-903)

Дослідження за цим прикладним математичним напрямом підтримав у 2020 році Національний фонд досліджень України (проєкт № 2020.02/0089 конкурсу досвідчених та молодих вчених).