Рецепт успiху в математичних дослiдженнях був би смiшним оксюмороном, оскiльки це квiнтесенцiя творчого процесу. Але я хотiв би дати кiлька порад для тих, хто робить першi кроки цим захоплюючим шляхом.

1. Будьте впертими i водночас гнучкими. У математичних дослiдженнях, на вiдмiну вiд олiмпiад, розв’язування задачi займає тижнi i мiсяцi, а не години, i немає миттєвого задоволення. Тим не менш, ви не хочете довго ламати голову без прогресу, якщо ви застрягли. Звернiться за допомогою або перейдiть до iншої проблеми!

2. Будьте прагнучими до знань. Якщо ви не досягли прогресу у своїй проблемi, але натомiсть чогось навчилися, тодi насправдi ви досягли прогресу. Окрiм того, що саме по собi це є iнтелектуальною винагородою, навчання в кiнцi кiнцiв завжди окупається i в практичному планi  – воно допомагає вам отримувати кращi результати. Шукайте напрямки дослiджень, якi змусять вас чогось навчитися! Чим бiльше ви навчитеся отримувати задоволення вiд процесу заняття математикою (а не тiльки вiд результату), тим кращим ви будете математиком.

3. Математичнi дослiдження по сутi є соцiальною дiяльнiстю. Багато обговорюйте, шукайте допомоги/поради/вiдгуку вiд iнших, а не застрягайте надовго.

4. Роздiлiть проблему на невеликi кроки або попросiть свого наставника зробити це для вас. Ви хочете, щоб у вашому порядку денному завжди було щось здiйсненне.

5. Розглядайте приклади. Знайдiть найпростiший приклад, який демонструє явище що вас цiкавить (принцип Гельфанда). Крiм того, вiдстеження доведення за допомогою найпростiшого нетривiального прикладу є чудовим способом перевiрки цього доведення. Вiн часто виявляє тонкi помилки, якi важче побачити в бiльш загальному контекстi, або способи рiзко спростити доведення, визначивши зайвi частини.

6. Думайте над кiлькома питаннями, щоб ви могли переключитися з одного на iнше.

7. Користуйтеся Iнтернетом (Вiкiпедiя зазвичай добре пiдходить для математики, хоча з нею потрiбно бути обережним). Також часто є корисним пошук за ключовими словами у Google (або Google Scholar). Але ви повиннi знати правильнi ключовi слова, i iнодi потрiбно трохи подумати, щоб їх придумати! Також хорошим джерелом є MathOverflow, де ви можете поставити запитання, а професiйнi математики дадуть на нього вiдповiдь в Iнтернетi. Але переконайтеся, що ваше запитання правильно сформульовано, згiдно з правилами MathOverflow! 

8. Використовуйте аналогiї. Математичних задач багато, але методiв для їх розв’язання набагато менше. Таким чином, метод, використаний в однiй задачi, може також працювати в iншiй, аналогiчнiй.

9. Робiть комп’ютернi тести, шукайте закономiрностi в даних, робiть припущення. Онлайнова енциклопедiя цiлих послiдовностей (OEIS) часто буває корисною. Вона має розширений iнструмент пiд назвою Superseeker, який шукає закономiрностi.

10. По можливостi пiдтверджуйте свої результати та доведення комп’ютерними обчисленнями, щоб уникнути помилок.

11. Завжди добре записуйте те, що ви робите (бажано в LaTeX). Хороша бухгалтерiя є важливою частиною математики!

12. Намагайтеся писати чiтко i коротко, в логiчнiй послiдовностi. Математичний текст повинен бути високо структурованим. Хороший засiб писати, принаймнi 5 для початкiвцiв, — писати так, щоб кожен фрагмент тексту був визначенням, лемою, теоремою, доведенням, зауваженням, прикладом, запитанням, припущенням, тощо, щоб текст був розбитий на невеликi шматочки, а вiльний текст, який не вiдноситься до жодної з цих категорiй, був зведений до мiнiмуму. Про кожен фрагмент тексту має бути зрозумiло, який його статус. Пiсля написання текст слiд кiлька разiв вичитувати та вiдредагувати.

13. Намагайтеся якомога краще зрозумiти твердження та доведення результатiв, якi ви використовуєте. Це не тiльки чеснiше та надiйнiше, але й дасть вам бiльше можливостей у вирiшеннi проблеми, з якою ви маєте справу.

14. Будьте мотивованi та керуйтеся красою та гармонiєю. Це найважливiша мотивацiя в математицi. Якщо у вас є доведення, але воно вам не подобається, якщо 6 воно здається потворним, набагато бiльша ймовiрнiсть, що воно насправдi неправильне. I навiть якщо це правильно, воно, ймовiрно, стане набагато простiшим або потужнiшим, i ви чогось дiзнаєтеся, якщо спробуєте краще зрозумiти речi, щоб написати краще доведення. Варто спробувати краще зрозумiти те, що ви вже певною мiрою розумiєте, а не стрибати вперед до абсолютно нових речей. Хоча це, здавалося б, уповiльнює процес, ви, безсумнiвно, компенсуєте це i будете винагородженi далi.

15. Слухайте своє серце. Як i в усiх важливих речах у життi, те, чого ви хочете i про що мрiєте, є найважливiшим. Спробуйте знайти свiй власний голос. Головна суть математичного дослiдження — щоб ви отримували задоволення!

Ця стаття Павла Етінгофа є перекладом з анлійської, оригінал можна знайти тут.